Cuadrados mágicos

Los Cuadros Mágicos

Presentación

La leyenda:

Una antigua leyenda china del s. IV antes de Cristo, atribuye el origen de estos cuadrados al hallazgo de una tortuga que tenía uno grabado en su caparazón. El mito señala que hace unos 4200 años en un lugar de China, el emperador Yu había decidido hacer ofrendas a los dioses para calmar su ira que había provocado que el río Lo (Río Amarillo) se desbordara, causando grandes destrozos y gran mortandad entre sus súbditos. Con el fin de apaciguar la furia divina, el emperador ofreció 3 animales a los Dioses. El altar estaba junto al río, y de ahí salió una tortuga sagrada, se acercó a los tres animales sacrificados y regresó al río. Era evidente que a los dioses no les complacía la ofrenda. Así que el emperador Yu hizo sacrificar otro animal. La tortuga volvió a salir, pero también se retiró. ¿Qué número de animales agradaría a los Dioses? . Había entre los pajes del emperador un joven muy avispado, que dijo haber visto en el caparazón de la tortuga unos signos como cuentas o puntos agrupados. Inmediatamente los escribió en la tierra y pudo verse el siguiente dibujo: The Astronomical Phenomena (Tien Yuan Fa Wei). Compilado por Bao Yunlong en el siglo XIII, edición de la Dinastía Ming, 1457 -1463.

El emperador Yu situado frente al dibujo observó algo asombroso, los nueve primeros números del mundo, sumados en cualquier dirección, vertical, horizontal y diagonal sumaban quince. Así supieron que el número de animales que debían sacrificarse a los dioses era quince. Este cuadrado mágico chino, el primero de cuantos se conocen, se llama Lo Shu (El libro del río Lo), y tiene otras propiedades importantes. Por ejemplo, en las cuatro esquinas están los números pares (Yin), y los números impares (Yang) forman una cruz central. El número 5, que está en el centro, simboliza la Tierra, y los otros cuatro elementos del universo oriental se representan por las parejas adyacentes: los metales (4 y 9), el fuego (2 y 7), el agua (1 y 6) y la madera (3 y 8).

Mandó copiarlo en una tablilla de barro inmediatamente. Desde entonces, se le atribuyeron a este cuadrado mágico propiedades religiosas y mágicas que servían en la astrología y en la predicción del futuro. Para los chinos los números pares representan el "yin", el principio femenino del universo, y los números impares representan el "yang", el principio masculino. En el cuadrado mágico "lo-shu" ambos principios se encuentran armoniosamente distribuidos y se complementan de manera natural.

Equivale a la disposición numérica de un cuadrado mágico de 3× 3. 

 

El interés despertado en occidente:

La introducción de los cuadrados mágicos en occidente se atribuye a Emanuel Moschopoulos en torno al siglo XIV, autor de un manuscrito en el que por vez primera se explican algunos métodos para construirlos. Con posterioridad, el estudio de sus propiedades, ya con carácter científico, atrajo la atención de grandes matemáticos que dedicaron al asunto obras diversas a pesar de la manifiesta inutilidad práctica de los cuadrados mágicos. Entre ellos cabe citar a Stifel, Fermat, Pascal, Leibnitz, Frenicle, Bachet, La Hire, Saurin, Euler, . . . diríase que ningún matemático ilustre ha podido escapar a su hechizo

Definición:

Un cuadrado mágico es la disposición de una serie de números enteros en un cuadrado o matriz de forma tal que la suma de los números por columnas, filas y diagonales principales sea la misma, la constante mágica. Usualmente los números empleados para rellenar las casillas son consecutivos, de 1 a n², siendo n el número de columnas y filas del cuadrado mágico.

Lo inventaron los chinos y ¡les daba suerte! ¿Quieres probar? 

Algunos tipos de cuadrados mágicos

Cuadrados mágicos perfectos (pandiagonales)

En ellos no solo las filas y columnas suman el número mágico, sino también las diagonales. Si además las cuadrículas forman tétradas que suman el número mágico, se llaman "más perfectos"

Cuadrados mágicos de productos

Un cuadrado mágico multiplicativo de orden n es un conjunto de números dispuestos en n filas y n columnas, de forma que el producto de todas las filas, de todas las columnas y de las dos diagonales es siempre la misma. A este producto se le llama constante mágica.

La constante mágica se puede calcular multiplicando todos los números utilizados y calculando la raíz de índice n del producto obtenido.

A partir del cuadrado mágico de orden 3, se pueden construir un cuadrado mágico multiplicativo con potencias de la misma base y exponente los números que aparecen en el cuadrado.

Se puede construir un cuadrado mágico multiplicativo de orden 3 con los divisores de 36.

Div(36) = { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 9 , 12 , 18 , 36 }
Constante mágica:
El producto de las tres filas, las tres columnas y las dos diagonales principales es 216

Y el cuadrado mágico multiplicativo de orden 3 con los divisores de 36 es:

Cuadrados matemáticos dobles

Hay cuadrados mágicos que pueden contener otro cuadrado mágico en su interior de orden inferior, por tanto, son cuadrados mágicos dobles. Incluso se pueden construir algunos que contienen sucesivos cuadrados mágicos en su interior en capas concéntricas.

Aquí os propongo un ejemplo de cuadrado mágico doble de orden 5 que contiene en su interior otro de orden 3. La suma de las filas, columnas y diagonales del cuadrado mágico de orden 5 es igual a 75, mientras que las del cuadrado menor de orden 3 es igual a 45.

Cuadrados alfa mágicos

Son un tipo de cuadrados mágicos en los que los números se escriben por su nombre (con caracteres alfabéticos) y la cantidad de letras de cada uno compone a su vez un cuadrado mágico. Se considera que fueron inventados en 1986 por Lee Sallows, ingeniero británico aficionado a las matemáticas recreativas. Los cuadrados alfamágicos, evidentemente, dependen de la lengua en la que son construidos.

En español un ejemplo de orden 3 sería:

ciento veintiuno	ciento cincuenta y cinco	noventa y tres
noventa y cinco	ciento veintitrés	ciento cincuenta y uno
ciento cincuenta y tres	noventa y uno	ciento veinticinco

Al convertir los nombres en números obtenemos un cuadrado mágico con constante mágica = 369:

121	155	93
95	123	151
153	91	125

Y si se cuenta la cantidad de letras de cada número en el cuadrado alfamágico se obtiene un cuadrado mágico con constante mágica = 48:

15	21	12
13	16	19
20	11	17

Un cuadrado mágico con letras

El uso de palíndromos para construir un cuadrado mágico con letras ofrece ejemplos sorprendentes. Una de ella es el célebre cuadrado mágico en latín, cuya inscripción fue encontrada en una columna en las ruinas de Pompeya, año 79 después de Cristo, y que aparece transcrito en numerosas iglesias. Este cuadrado ha sido relacionado con la cábala, con la filosofía hermética.
El cuadrado es éste:

Su lectura es múltiple: derecha a izquierda y viceversa; arriba hacia abajo y viceversa (pero no en diagonal). Los estudiosos comentan que la segunda palabra carece, en latín, de significado. El cuadrado quiere decir: "El labrador (Dios) en su campo controla el trabajo de sus herramientas (nosotros)". Su disposición palindrómica es: “Sator arepo tenet opera rotas”.
El español, es lengua propicia para la invención de palíndromos ya que "se dice como se escribe, se escribe como se dice", como bien apunta Antonio de Nebrija, aunque no es fácil.  Su técnica de construcción, en nuestro idioma, parte de la búsqueda de palabras y expresiones palindrómicas ya sean palabras enteras (reconocer, solos, sacas, seres, ese) o truncadas (amad/dama; adán/nada; la sor/ rosal; la sed/de sal).

He aquí uno de tercer orden: "A él ese lea"

A É L

E S E

L E A

Uno de cuarto orden: “Adán: dama amad nada”

A D Á N

D A M A

A M A D

N A D A

De quinto orden: “La sed a Yavé sanas, Eva ya de sal”

L A S E D

A Y A V É

S A N A S

E V A Y A

D E S A L

Cuadrados mágicos geométricos (geomágios)

En ellos se disponen formas geométricas en cada cuadrícula de la matriz de forma que líneas, columnas y diagonales formen (sumadas) la misma figura (figura objetivo)

 

Sello de Macao (China) que contiene un cuadrado mágico geométrico
de orden 3 formado por poliominós y creado por Lee Sallows. 

Son posibles, incluso, con formas voluminosas; es decir con figuras en tres dimensiones:

Estos cuadrados mágicos han sido usados, incluso, para crear partituras musicales. En el canal de YouTube del compositor minimalista estadounidense, afincado en París, Tom Johnson, están a disposición los videos de la serie Illustrated Music, en la que el compositor explica la manera en la que crea sus composiciones musicales utilizando conceptos matemáticos, como permutaciones, combinaciones, sucesiones numéricas, teselaciones rítmicas perfectas, el triángulo de Pascal, el problema de las estudiantes de Kirkman o diseños combinatorios. En el número 19, explica su obra para guitarra Tinkelenberg Rhythms (2014) y cómo utiliza un cuadrado mágico geométrico, encontrado por el programador de software, mago matemático y creador de rompecabezas matemáticos holandés Frank Tinkelenberg, para realizar su composición musical.

Portada y primera página de la composición para guitarra Tinkelenberg Rhythms (2014), de Tom Johnson. 

Cuadrados mágicos singulares: 

El cuadrado mágico de Durero

  

Alberto Durero (1471-1528) es un artista renacentista alemán. Uno de sus grabados más famosos es «Melancolía I» que se encuentra en la Galería Nacional de arte de Karlsruhe (Alemania). En este grabado, realizado en 1514, hay algunos elementos matemáticos y, en la parte superior derecha, aparece un cuadrado mágico de orden cuatro. Es un cuadrado mágico de tipo esotérico (con números consecutivos y empezando con el 1), construido con los dieciséis primeros números naturales, de constante mágica 34. En el Renacimiento los médicos y astrólogos recetaban cuadrados mágicos de cuarto orden con fines terapéuticos para ahuyentar la melancolía y el aburrimiento. Como curiosidad, si dividimos este cuadrado mágico en cuatro cuadrados de 2 x 2, la suma de cada uno de los números que hay contenidos en ellos nuevamente es treinta y cuatro.

El cuadrado mágico de la Sagrada Familia

En la fachada de la Pasión, entre el conjunto escultórico de Subirach, en el templo de la Sagrada Familia hay un cuadrado mágico de cuatro filas y cuatro columnas, donde cada fila y cada columna suman 33. Este cuadrado mágico de 4 x 4 no es "esotérico" al uso; es diferente y no cumple las condiciones básicas iniciales. Por un lado, no contiene todos los números del 1 al 16, ya que faltan el 12 y el 16, y, además, repite algunos. Por otro lado ―y aquí viene la clave simbólica―, la constante mágica no es 34, sino 33.

Subirachs tomó un cuadrado mágico ya conocido, el que el pintor alemán Alberto Durero representó en el grabado Melancolía I, y lo retocó, repitiendo las cifras 14 y 10 y eliminando el 12 y el 16, para así obtener una suma que diese 33 como resultado, la edad a la que tradicionalmente se supone que fue ejecutado Jesucristo.

Además, en el cuadrado mágico de la Sagrada Familia también se camufla una especie de firma subliminal, pues al sumar los números repetidos teniendo en cuenta el alfabeto romano obtenemos la sigla INRI. Esta sigla significa Iesus Nazarenus Rex Iudaeorum (Jesús de Nazaret, rey de los judíos) y se trata del rótulo que Poncio Pilatos hizo escribir sobre la cruz de Jesucristo. Aquí se convierte en la firma del escultor.


Cuadrados mágicos más perfectos 

Still Life with Magic Square / Naturaleza muerta con cuadrado mágico (2011), de la artista francesa Sylvie Donmoyer.

El cuadrado mágico de Benjamin Franklin

El cuadrado de Benjamin Franklin, uno de los grandes próceres del proceso de Independencia de los Estados Unidos y uno de los autores de su constitución, recordado político e inventor norteamericano del pararrayos y de un tipo de lentes bifocales, se divertía con un pasatiempo matemático similar al moderno Sudoku, retando a sus amigos a que descubrieran cómo lo había elaborado.  El cuadrado mágico en cuestión, cumple con la regla de las sumas de las filas y de las columnas, siendo la constante del cuadrado 260; pero no cumple con la regla de la suma de las diagonales principales.

Cuadrados consagrados a los planetas

Cornelius Agrippa en De oculta philosophia libri tres (1533), involucró los siete planetas conocidos con siete cuadrados mágicos. Afirma que el cuadrado de orden 3 (15) estaba consagrado a Saturno, el de 4 (34) a Júpiter, el de 5 (65) a Marte, el del 6 (111) al Sol, el del 7 (175) a Venus, el del 8 (260) a Mercurio y el de 9 (369) a la Luna; idéntica atribución puede encontrarse en la astrología hindú. 

El cuadrado matemático de Alá

 

Los matemáticos árabes descubrieron los cuadrados mágicos por contacto con la matemática hindú y se sintieron fascinados por sus características y, probablemente los difundieron por Occidente durante la Edad Media. El casillero de este cuadrado mágico árabe está formado por las letras de la palabra Alà. Todas sus filas, columnas y diagonales suman 66, cifra que en el Islam corresponde al valor numérico de Alà. 

Cuadrado mágico del tablero del ajedrez

El cuadrado mágico que soluciona el problema del caballo de Euler

El problema trataba de encontrar el recorrido del caballo por las 64 casillas del tablero de ajedrez, sin pasar dos veces por la misma casilla. Había dos variantes: 1- El caballo podía acabar en cualquier casilla (circuito abierto) o 2- Debía regresar a la casilla inicial (circuito cerrado)
Euler propuso como solución un cuadrado mágico de 8x8 los escaques van numerados del 1 al 64 y donde la suma de cada fila o columna da 260. Algo parecido al juego del sudoku.

Sudokus

El sudoku es un juego de moda basado en cálculos matemáticos. El más clásico está compuesto por nueve filas y nueve columnas, y a su vez está dividido en nueve celdas de tres por tres. Dentro de cada celda hay colocados algunos dígitos guía, y falta completar con los dígitos del 1 al 9; con la única condición de que en toda la malla no se repita en fila o columna un número. La propiedad básica del sudoku clásico es que las filas y columnas suman una constante (1 + 2 + 3 +…+ 9 = 45), no así las diagonales.

El "Cuadrado Mágico Divino" 

Este cuadrado mágico de orden 10, está formado por los 100 primeros números pares. Tiene la propiedad de que la suma de sus filas, columnas y diagonales es igual a 1010. 

Cuadrados mágaicos pitagóricos

Construcción

Construcción de cuadrados mágicos de orden tres

B	2(A+B)	A
2A	A + B	2B
2B + A	0	2A + B

 Partimos de dos números (A y B) y aplicamos las operaciones indicadas. Ejemplos: 

4	18	5
10	9	8
13	0	14

1	6	2
4	3	2
4	0	5

3	8	1
2	4	6
7	0	5

4	9	2
3	5	7
8	1	6

El último cuadrado mágico (clásico) se obtiene aplicando la propiedad que consiste en sumar un número fijo a cada uno de los cuadros. La constancia de las sumas en todas las direcciones se cumple también. 

Construcción de cuadrados mágicos de orden impar

Has de trazar filas y columnas auxiliares para poder trazar diagonales con los números consecutivos
Ejemplo con cuadrados de orden 3:

		1
	4		2
7		5		3
	8		6
		9

Después has de colocar los números que quedan fuera de la tabla en el hueco del lado opuesto.

 

		1
	4	9	2
7	3	5	7	3
	8	1	6
		9

Ejemplo con cuadrados de orden 5

Se trazan igualmente casillas auxiliares hasta poder formar diagonales con cinco casillas.
Se rellenan dichas diagonales con números consecutivos.

				1
			6		2
		11		7		3
	16		12		8		4
21		17		13		9		5
	22		18		14		10
		23		19		15
			24		20
				25

Se completan los huecos trasladando cada triada vertical u horizontalmente al lado opuesto y ocupando las casillas vacías hasta completar el cuadrado. 

				1
			6		2
		11	24	7	20	3
	16	4	12	25	8	16	4
21		17	5	13	21	9		5
	22	10	18	1	14	22	10
		23	6	19	2	15
			24		20
				25

* Recordamos la propiedad de los cuadrados mágicos que dice que sumar o restar el mismo número a cadas casilla forma otro cuadrado mágico igualmente. De esta manera se pueden obtener cuantos cuadrados queramos a partir de uno dado.

Construcción de cuadrados mágicos de orden par

Para construir cuadrados mágicos de orden par (en el ejemplo uno de orden 4, que es el menor de los de orden par) comenzaremos por situar el número 1 (o la 1ª cifra de la serie) en el extremo superior izquierda y entonces escribiremos, desplazándonos de izquierda a derecha, sólo las cifras correspondientes a las casillas que forman las dos diagonales principales. Después nos situaremos en la primera casilla inferior derecha en blanco, vecina de la del extremo, dónde pondremos el número 2 (o la 2ª cifra de la serie) e iremos desplazándonos, en sentido de derecha a izquierda y hacia arriba, completando, en estricto orden, las casillas que faltan.